Наука Плоского мира. Книга 4. День Страшного Суда

В настоящей момент такой логической концепцией принято считать общую теорию относительности, рассматривающую гравитацию как искривление пространства-времени. В плоском пространстве-времени частицы движутся по прямым, точно так же, как они это делают в ньютоновской физике, если на них не действуют какие-либо внешние силы. Если же пространство-время деформировано, они движутся по криволинейным траекториям, что в ньютоновской физике соответствует воздействию силы, в частности гравитации. Эйнштейн выбросил силы, сохранив искривление. В общей теории относительности массивные тела, такие как звёзды и планеты, искривляют пространство-время; частицы начинают отклоняться от прямых траекторий из-за этого искривления, а вовсе не под действием каких-либо сил. Эйнштейн говорил, что для понимания гравитации необходимо понять геометрию Вселенной.
Ещё в самом начале существования теории относительности космологи открыли подходящую для Вселенной форму, согласующуюся с эйнштейновской теорией: гиперсферу. Топологически это самая обыкновенная сфера, под которой понимается исключительно поверхность. Сфера двухмерна: для локализации любой точки на ней достаточно двух координат. Например, широты и долготы. Гиперсфера же трёхмерна. Математики определяют её, также используя геометрию координат. К сожалению, в естественном пространстве такой фигуры не существует, поэтому мы не можем соорудить модель или нарисовать картинку.
Это не просто плотный шар, состоящий из сферической поверхности и заполнящего материала. У сферы, как и у гиперсферы, нет границ. Вот Плоский мир, он имеет границы, показывающие, где кончается, собственно, мир, а океан низвергается с Краепада. С нашим сферическим миром всё не так просто: у него границы отсутствуют. Где бы вы ни находились, оглянитесь вокруг и увидите сушу или океан. Сколько бы муравей ни бродил по такому миру, он не найдёт места, где тот заканчивается и начинается Вселенная. То же самое справедливо и для гиперсферы. Однако плотный шар всё же имеет границу – это его поверхность. Если представить, что муравей способен углубляться внутрь сферы, подобно тому, как мы перемещаемся в пространстве, то, достигнув поверхности с внутренней стороны, он должен обнаружить конец Вселенной.
Для наших целей достаточно знать, что гиперсфера – естественный аналог обычной сферы, но с одним дополнительным измерением. Для большей ясности вообразите, как может представить себе сферу муравей, а затем возьмите и добавьте одно измерение. Такой же фокус проделал А. Квадрат из Флатландии. Сфера, как известно, состоит из двух полусфер, склеенных в районе экватора. Каждую полусферу можно сплющить в плоский диск в процессе непрерывной деформации. Следовательно, для топологов сфера ничем не отличается от летающей тарелки: двух дисков, соединённых по краям. Итак, трёхмерный аналог диска – плотный шар. Отсюда следует: гиперсфера – это склеенные плотные шары. В реальном пространстве с круглыми шарами такое проделать невозможно, но математически мы можем легко вывести правило, согласно которому каждой точке на поверхности одного шара будет соответствовать точка на поверхности другого. После чего достаточно представить, что соответствующие точки совпадают, подобно тому, как совпали стороны квадрата при изготовлении плоского тора.
Гиперсфера играла значительную роль в ранних работах одного из создателей современной топологии – Анри Пуанкаре. Он работал на рубеже XIX-XX веков и, являясь одним из ведущих математиков того времени, чуть было не опередил Эйнштейна с созданием специальной теории относительности [58]. В начале XX века Пуанкаре разработал множество базовых инструментов топологии. Он знал, что гиперсфера является фундаментом трёхмерной топологии, точно так же как сфера – двухмерной. В частности, гиперсфера не имеет «дыр», как в бублике-торе, а следовательно, в определённом смысле она является простейшим трёхмерным топологическим пространством. Пуанкаре априори предположил, что верно и обратное: любое трехмерное топологическое пространство без дыр будет гиперсферой.
 
Однако в 1904 году он изобрёл более сложное додекаэдрическое пространство, не имеющее дыр, но не являющееся гиперсферой. Существование подобного частного случая формы доказало, что его изначальное предположение было ошибочно. Эта неожиданная проблема заставила его добавить ещё одно условие, которое, как он надеялся, будет более полно характеризовать гиперсферу. Как известно, двухмерная поверхность является сферой тогда и только тогда, когда любая замкнутая петля на ней может быть стянута в одну точку. Пуанкаре предположил, что тем же свойством должно обладать и трёхмерное пространство гиперсферы. Он был прав, но математикам потребовалось почти сто лет для доказательства его гипотезы. В 2003 году молодой русский математик Григорий Перельман успешно доказал идею Пуанкаре. За это ему полагался миллион долларов, но, как все прекрасно помнят, от денег он отказался.
Хотя гиперсферичность Вселенной является самым простым и наиболее очевидным объяснением, с экспериментальным подтверждением у этой гипотезы пока туговато. Когда-то самой простой и очевидной формой Земли считалась плоскость, и посмотрите, к чему это привело. Поэтому космологи перестали по умолчанию полагать, что Вселенная имеет форму гиперсферы, и принялись искать другие варианты. Некоторое время одной из наиболее популярных версий, разрекламированных масс-медиа, была Вселенная в виде футбольного мяча. Издателям эта идея также весьма по душе, поскольку читатели обычно не слишком сведущи в космологии, зато все прекрасно знают, что такое футбол. [59]
Учтите, футбольный мяч – это вам не сфера. Тогда на какое-то небольшое время футбольный мяч утратил привычную форму (18 прямоугольников, сшитых во что-то вроде куба) и приобрёл новую стильную форму: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, сшитых в виде усечённого икосаэдра [60]. Это геометрическое тело возвращает нас прямиком в Древнюю Грецию. Вообще нам повезло, что мы можем говорить о таком прекрасном названии просто как о футбольном мяче. Правда, есть одно но: в действительности это никакой не усечённый икосаэдр. Это трёхмерная гиперповерхность, имеющая к усечённому икосаэдру самое отдалённое отношение. Футбол находится в другом измерении, так сказать.
А если быть совсем точным, это додекаэдрическое пространство Пуанкаре.
Короче, чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, вам надо начать с додекаэдра. Додекаэдр – геометрическое тело с двенадцатью гранями, каждая из которых правильный пятиугольник. Чем-то он похож на футбольный мяч, только без шестиугольников. После того как разобрались с дедекаэдром, вы соединяете вместе его противоположные грани. С реальным додекаэдром такой фокус не пройдёт, а вот с математической точки зрения можно представить всё так, что различные грани – это одно и то же, тогда нет никакой необходимости мять и плющить настоящий додекаэдр. Точь-в-точь как мы поступили с плоским тором. Хотя топологи всё равно настаивают на термине «склейка».
Додекаэдрическое пространство является более сложной вариацией плоского тора. Напомним, что плоский тор получается посредством склейки противоположных сторон квадрата. Чтобы получилось додекаэдрическое пространство, являющееся при этом трёхмерным объектом, а не поверхностью, вам надо всего-навсего взять додекаэдр и склеить его противоположные грани. В результате у вас получится трёхмерное топологическое пространство. Как и у тора, у него нет границ, причём по той же самой причине: всё, что случайно свалится с одной из граней, тут же объявится на противоположной. Таким образом, покинуть его нельзя, это пространство конечно. И точно так же как гиперсфера, дыр оно не имеет. Будь вы как тополог несколько наивным, у вас возникло бы искушение посчитать, что гипотеза прошла проверку и гиперсфера наконец-то найдена. Однако то, что у вас получилось, отнюдь не гиперсфера, даже в топологическом смысле.