Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали

Сила, расстояние и работа




Итак, мы видим связь между необходимой силой и пройденным расстоянием при подъеме на определенную высоту с помощью наклонной плоскости. Давайте уточним этот момент: сила, необходимая для перемещения объекта по наклонной плоскости (или лестнице), меньше силы, требуемой для перемещения того же объекта по вертикальной приставной лестнице на ту же высоту. Другими (более математическими) словами:



Fнаклонная плоскость < Fприставная лестница,

где F – это сила, а знак «<» означает «меньше, чем». Цена, которую мы платим за роскошь приложения меньшей силы, – увеличение расстояния, которое мы должны преодолеть:

dнаклонная плоскость > dприставная лестница,

где знак «>» означает «больше, чем». В нашем примере вы перемещаете себя, но в целом это может быть что угодно; возможно, вы нечто несете или двигаете. Независимо от этого отношения между силой и расстоянием всегда сохраняются.

Неравенства, приведенные выше, дают нам четкое понимание взаимоотношений между силой и расстоянием. Основываясь на них, мы легко видим, что при росте одного из показателей другой снижается. Таким образом, между силой и расстоянием существует некий компенсирующий эффект. Фактически эти эффекты прекрасно сбалансированы, и, вне зависимости от того, что мы используем – наклонную плоскость или лестницу, – мы в любом случае выполним одну и ту же работу:



Работа = (сила, затраченная на движение объекта) × (пройденное объектом расстояние).

Поэтому с точки зрения работы при движении с использованием наклонной плоскости в сравнении с использованием приставной лестницы справедливо следующее:



Aнаклонная плоскость = Aприставная лестница,

где A – это работа. Это означает, что объем работы, необходимой для перемещения чего-либо на определенную высоту, остается неизменным. Другими словами, природе все равно, как именно вы что-либо куда-либо доставите; необходимый объем работы будет тем же – ни меньше, ни больше.

Данная закономерность становится понятнее, когда мы рассматриваем случай, в котором мы поднимаем объект на определенную высоту. Чему мы противостоим? Мы противостоим силе притяжения Земли[1], а подъем чего-либо на большую высоту увеличивает потенциальную энергию этого объекта. Позднее мы поговорим о потенциальной энергии подробнее, но сейчас отметим, что работа и энергия тесно взаимосвязаны. Более того, мы начинаем подозревать, что природа имеет тенденцию сохранять энергию.

Заманчиво предположить, что мы могли бы создать машину, которая позволит нам использовать меньше силы, чтобы перемещать объекты, без необходимости дополнительно преодолевать требуемое расстояние. К сожалению, никакого «бесплатного сыра» нет. Когда дело доходит до законов Вселенной, становится ясно, что эта машина в действительности никогда не будет существовать. Возможно, никто не сказал об этом яснее, чем Галилео Галилей (1564–1642):

«Я видел (если не ошибаюсь), как многие механики обманулись, пытаясь использовать механизмы, изначально непригодные для определенных работ, в то время как многие другие также пошли по ложному пути за своими ожиданиями. Это разочарование, как мне кажется, основано на том, что эти люди верили и продолжают верить, будто они смогут поднять больший вес, приложив меньше силы, как если бы их машины могли обмануть природу, которая и без того любит нам отказывать. Ее основной закон: никакое сопротивление нельзя преодолеть меньшей силой, чем исходная».

Тем не менее многие пытались (и до сих пор пытаются) «обмануть» Вселенную тем или иным способом. Ярким примером этого служит «вечный двигатель», который должен выполнять работу бесконечное количество времени посредством минимальных усилий. Как мы увидим позже, он также обречен на неудачу, учитывая систему строгих «сдержек и противовесов» энергии и работы, тщательно сохраняемых Вселенной.





Глава 2

Качание, падение и вращение

Основы энергии




Наше обсуждение простых механизмов показывает, что природа не желает отдавать свою энергию даром. Тем не менее эти устройства упрощают нашу жизнь (и даже сегодня мы продолжаем использовать их как части более сложных машин, которые работают с использованием человеческого труда или топлива), и есть компенсирующий эффект. И, насколько мы знаем, этот привычный уклад не изменить.

Пока люди изучали другие системы, простые или посложнее, эта тема возникала вновь и вновь в разных формах. Эксперименты с качающимися маятниками, падающими объектами и предметами, катящимися вниз – ну, по чему бы еще – по наклонной плоскости (да, опять она, но в этот раз уже не в качестве простейшего механизма), помогли подняться на следующий уровень понимания. Результат этих экспериментов лег в основу понимания энергии. И никто не потратил на изучение этих систем больше времени, чем Галилео Галилей.





Качающаяся люстра




Галилео Галилей, старший из шести детей, родился в Пизе 15 февраля 1564 года в семье Винченцо Галилея и Джулии Амманнати. Винченцо, музыкант-теоретик и практик, жил скромно, зарабатывая исполнением и преподаванием музыки. Часть его работ, однако, была опубликована. В его самой значимой книге, Fronimo (содержавшей много композиций для двух лютней), мы видим выражение настоящей страсти (или аддикции) к музыке: он играл на своей лютне «гуляя по городу, катаясь на лошади, стоя у окна, лежа в постели».

Галилей научился у своего отца нескольким вещам. Благодаря тому, что они с отцом много играли дуэтом – Галилео играл партию второй лютни, – он стал искушенным лютнистом. Как и его отец, Галилео был вольнодумцем, и они оба любили выставлять авторитетных людей дураками, например, побеждая их в споре. Как устойчивый сторонник эмпирического исследования, Винченцо проводил эксперименты, чтобы проверить свои музыкальные теории. В частности, он установил фундаментальные отношения между частотой колебаний струны и ее натяжением: частота колебаний прямо пропорциональна квадратному корню из натяжения. Уважение отца к необходимости проверять теорию с помощью экспериментального наблюдения, несомненно, влияло на Галилео, поскольку стало краеугольным камнем всех его научных изысканий. Его мать, хотя и была образованной женщиной, была упряма, отличалась трудным характером и была слабо привязана к Галилео или его младшему брату Микеланджело, который за год до смерти матери (а она умерла в 1620 году) с удивлением отмечал, что она была «все так же ужасна».

Галилео жил в Пизе, пока ему не исполнилось десять, а затем переехал во Флоренцию. После некоторого начального обучения у наставника (который брал пять лир в месяц) он наконец поступил на учебу в монастырь Валломброза под Флоренцией. Тогда-то, скорее всего, и начался его роман с астрологией. Кроме того, тогда же он почувствовал интерес к религии – но его отец тут же пресек это, забрав Галилео из монастыря под предлогом того, что его глаза нуждались в медицинском уходе.

Решив, что Галилео должен построить карьеру в медицине (вероятно, потому что это была престижная и хорошо оплачиваемая профессия и потому что самый выдающийся предок их семьи был доктором), Винченцо в 1581 году записал сына в Пизанский университет. В те дни чтобы стать доктором, нужно было знать наизусть естественную философию Аристотеля. Это задача, должно быть, была разочарованием для Галилео, который написал: «Кажется, что нет ни одного явления, стоящего внимания, с которым он [Аристотель] столкнулся бы без рассмотрения».

Из всех тем, которые затрагивал Аристотель, воображение Галилео, безусловно, захватила физика. Тем не менее к учению Аристотеля по этому предмету[2] Галилео подошел весьма требовательно. Очевидно, Галилео подвергал сомнению не только учение Аристотеля, поскольку в первые годы в университете он заработал репутацию студента, любящего перечить преподавателям, которых он считал главным образом высокомерными, некритически настроенными мыслителями, отчаянно цепляющимися за бессмысленную традицию. Галилео начал терять интерес к своим медицинским курсам. Примерно в это время жизнь Галилео резко изменилась.


Каждый год накануне Рождества двор великого герцога Франческо переезжал из Флоренции в Пизу, где оставался до Пасхи. Среди его придворных был математик Остилио Риччи (1540–1603). В 1583 году, в течение второго года Галилео в университете, Риччи был в Пизе и преподавал «Начала» Евклида[3] служителям суда. Так как на эти лекции пускали только членов Тосканского суда, Галилео пришлось прятаться за дверью, чтобы слушать. Так Галилео впервые прикоснулся к реальной математике, и он был очарован[4].

Он вернулся, чтобы услышать больше лекций, все время храня свое присутствие в тайне. Вдохновленный этими лекциями, Галилео самостоятельно изучил Евклида. В конечном счете он подошел к Риччи с вопросами, и именно тогда придворный математик увидел талант Галилея к математике. Риччи посоветовал Галилео продолжать самостоятельное обучение и предложил свою помощь. После официального знакомства Галилео, Риччи и Винченцо стали друзьями. Риччи рассказал Винченцо, что у Галилео талант к математике, которую тот предпочел исследованию медицины. Винченцо (сам бывший хорошим математиком) ничего не имел против, но хотел, чтобы его сын получил медицинскую степень. Он согласился, что Риччи будет учить Галилео, в тайне надеясь, что его сын все же продолжит основное обучение. Этого не произошло. Галилео полностью забросил медицинское образование и в 1585 году покинул университет без степени.

После отъезда из Пизанского университета Галилео продолжал изучать математику самостоятельно, а также давал частные уроки во Флоренции и Сиене. В это время Риччи познакомил Галилео с работами Архимеда (ок. 287–212 до н. э.). Работы Евклида предоставили Галилео твердую математическую базу, в то время как Архимед показал ему силу математики в приложении к проблемам физики. Действительно, Галилео был большим поклонником Архимеда и оставался им всю жизнь. Однако физика Архимеда относилась только к статичным объектам. Галилео же станет тем, кто расширит познания физики в отношении динамичных объектов.

В 1586 году Галилео написал свое первое научное эссе под названием «Маленькие весы», где он объяснил, как построить и применять устройство для измерения удельного веса. Эта работа содержала комбинацию прагматических и теоретических аспектов; последний он заимствовал из работ Архимеда. В 1587 году Галилео обнаружил способ вычислить центр тяжести определенных твердых тел. Используя инновационный и практический подход, он вышел за рамки работ Архимеда и привлек внимание выдающихся математиков в Италии и, впервые, за границей.

В 1588 году Галилео попытался устроиться на кафедру математики в Болонском университете. В это время его математический опыт состоял из отдельных встреч с Риччи, частных уроков, которые он давал во Флоренции и Сиене, и самостоятельного обучения. Хорошо осознавая, что профессионального опыта у него мало, Галилео указал, что ему «приблизительно 26». На самом деле ему было двадцать три года. Место на кафедре в итоге досталось Джованни Антонио Маджини (1555–1617). Маджини был астрономом, астрологом, издал некоторые книги и был на девять лет старше Галилео. Также, вероятно, сыграло свою роль и то, что он был выпускником университета.

Галилео становился известным, что, вкупе с помощью его покровителей, позволило ему получить должность преподавателя математики в Пизанском университете в 1589 году. Галилео получал всего половину зарплаты своего предшественника, что делало его одним из самых низкооплачиваемых среди его коллег в университете. Работая в Пизе, Галилео умудрился оскорбить преподавателей философии критикой физики Аристотеля, и становилось ясно, что его контракт в Пизе, вероятно, по истечении 1592 года не будут возобновлять.

Уже в 1590 году друзья и покровители Галилео начали искать возможность добиться для него места на кафедре математики в Падуанском университете, которое оставалось свободным с 1588 году. В 1592 году благодаря репутации хорошего математика Галилео стал преподавателем в университете Падуи, и платили ему в три раза больше, чем в Пизе.

В Падуе Галилео провел восемь лет, обустраиваясь на новом месте и завязывая знакомства. Он вел расслабленный образ жизни, уделяя время своим интересам и сосредотачивая свои научные исследования больше на практике, а не на теории. В 1599 году Галилео приобрел большой дом с садом и виноградником. Здесь он приютил студентов (с их слугами), которые подолгу оставались с ним и обслуживали вместе с медником мастерскую по изготовлению инструментов. Частные уроки, которые он давал, и университетские курсы оставляли Галилео мало свободного времени.

1602–1609 годы были для Галилео самыми творческими в изучении движения. В это время он, скорее всего, стремительно переходил от одной идеи к другой, позволив и теории, и точным экспериментам указать ему путь к умозаключениям, которые нанесут аристотелевской физике фатальный удар.

В 1583 году во время мессы в Соборе Пизы Галилео наблюдал, как под воздействием ветра качается светильник. Глядя на него, Галилео понял, что без дополнительного приложения сил постоянные колебания становятся все слабее и слабее[5]. Но сколько нужно времени, чтобы прошло каждое из этих колебаний? Используя свой пульс для измерения времени (точные часы еще не изобрели), он удивился, когда осознал, что, хотя амплитуда каждого колебания уменьшалась, затрачиваемое на каждое колебание время оставалось неизменным. Галилео был заинтригован.





Рис. 2.1. Маятник сдвигают направо из точки покоя (нижнее положение, в котором он, по сути, висит вертикально) до начальной точки (амплитуда). Как только его отпускают, он качается влево, проходя через точку покоя (где его скорость теперь является максимальной) до противоположной стороны, где он достигает конечной высоты (которая соответствует начальной). Когда начальная высота мала, время, которое уходит на один такой цикл, зависит только от длины веревки.

Хотя неизвестно, правдива ли эта история[6], первые заметки Галилео о качающемся маятнике (рис. 2.1) – хорошей модели качающегося канделябра – появились в конце 1588 – начале 1589 года, хотя к самим экспериментам[7] он приступил только в 1602 году. Основываясь на своих опытах, Галилео заключил, что время, требуемое на колебание маятника (период), не зависит от размера колебания (амплитуды); и также не зависит от массы[8] в конечной точке. Единственное, от чего оно зависит, – длина веревки. Это означает, что если привести маятник в движение на высоте или на «маленькой»[9] амплитуде вне зависимости от начальной высоты, время, за которое маятник пройдет траекторию от начальной точки и обратно (колебание), всегда будет постоянным (учитывая колебание воздуха и внутреннее трение).

В «Диалоге о двух главнейших системах мира» [10]Галилео рассуждает об этом с точки зрения протагониста, Сальвиати:

«Соответственно, я взял два шара – один из свинца, один из пробки, – причем первый был в сто раз тяжелее второго, и подвесил их с помощью двух одинаковых, равных по размеру нитей около 4–5 локтей в длину. Запустив их движение (одновременно) как маятники, я увидел, что два эти тела совершали колебание по одному и тому же пути, и периоды легкого и тяжелого шара практически совпадали. Это свободное колебание повторялось сотни раз».

Это наблюдение точное лишь отчасти. Возможно, эксперименты Галилео с маятниками относились только к малым колебаниям – или часы, которыми он пользовался, были недостаточно точными. Справедливо, что период колебания маятника зависит от длины нити, а не от массы груза, однако если размах колебания станет достаточно большим, период будет также зависеть от амплитуды – или начальной высоты. В таком случае период станет длиннее, так как увеличивается амплитуда. Так что мы проводим различие и называем маятник, который качается с постоянным периодом, изохронным маятником.

Галилео полагал, что все маятники изохронные, и это послужило почвой для идеи построить надежные часы – в которых он отчаянно нуждался для своих экспериментов. Он хвастался такими часами Республике Соединенных провинций Нидерландов: «Эти часы действительно превосходны для тех, кто наблюдает за движением и астрономическими явлениями, а их устройство очень простое».

Галилей блефовал; у него не было работающей модели этих «простых в изготовлении» часов. Однако у него действительно была теория относительно того, как их построить, которую он разрабатывал со своим сыном, Винченцо (1606–1649), и студентом и первым биографом, Винченцо Вивиани (1622–1703). К сожалению, до самой смерти у Галилео не было готового прототипа. В итоге такой прототип построил его сын в 1649 году, а в Северной Европе о нем узнали из набросков Вивиани.

В 1656 году Христиан Гюйгенс (1629–1695) самостоятельно создал улучшенную версию часов. Он понял, что маятник будет сохранять постоянный период только малых колебаний. Он смог преодолеть этот недостаток, регулируя колебание маятника, чтобы тот двигался не по естественной, круглой, а по измененной кривой, которая поддерживала постоянный период для всех высот. Эта прямая известна как циклоида, или таутохрона. Гюйгенс описал свою версию (циклоидных) часов с маятником в 1658 году в труде Horologium (что на латыни означает «часы») и в 1673 году опубликовал геометрическое доказательство таутохроны как истинной постоянной кривой периода в Horologium Oscillatorium.

Маятник дает нам другое ценное понимание. Мы понимаем, что скорость маятника в определенной точке зависит от текущей высоты по отношению к начальной высоте, что приводит к самой высокой скорости в самой низкой точке колебания. Другими словами, его текущая скорость зависит от разности высот: чем больше это различие (дальше от отправной точки), тем выше его текущая скорость. Поэтому максимальная скорость достигается в самой низкой точке колебания, которая является также пунктом, в котором в конечном счете колебания прекратятся.

Отношения между высотой и скоростью дают нам лучшее понимание сохранения энергии. Галилео еще вернется к изучению маятника и еще больше приблизится к разгадке тайны энергии. Однако, прежде чем мы доберемся до этого, давайте поговорим о свободном падении.





Свободное падение




Из наших рассуждений о маятнике мы узнали, что:

• период колебания никогда не зависит от количества массы груза, присоединенного к концу веревки;

• скорость маятника увеличивается с уменьшением высоты, максимальная скорость – в самой низкой точке колебания.

Эти результаты интересны сами по себе, но станут еще интереснее, как только мы свяжем их с другими типами движения.

Маятник, качающийся назад и вперед, в действительности является просто объектом, «полное» падение которого остановили за счет натянутой веревки. Другими словами, веревка препятствует свободному падению маятника. Подумайте об этом как о человеке, который прыгает с моста с тарзанкой. В первый раз он прыгает как обычно, с тросом, обернутым вокруг тела, который гарантирует, что прыгун в конце не ударится о землю. Конечно, для этого длина троса должна быть (при полном натяжении) меньше, чем высота прыжка, чтобы торможение было безопасным. При втором прыжке длина троса (при полном натяжении) гораздо больше, чем высота падения. Тем не менее внизу находится огромный мат, который должен остановить падение и защитить прыгуна от травм.

Это очень похожие сценарии. Единственное значимое различие – длина троса: он меньше начальной высоты при первом прыжке и больше начальной высоты при втором прыжке. По существу, это отношения между качающимся маятником и свободно падающим объектом. Поэтому мы могли бы ожидать, что физические законы, управляющие обоими этими движениями, схожи.

Свободно падающие объекты привлекали внимание Галилея (см. рис. 2.2).

Аристотель считал, что более тяжелый объект упал бы на землю быстрее, чем легкий, но Галилео подозревал, что такого не будет. Изначально Галилео усомнился в этом, когда был студентом в Пизанском университете. В заметке, написанной несколькими годами позже, Галилео упомянул, что его наблюдения были основаны на наблюдениях за камнями разных размеров, падающими на землю. Галилео наблюдал, как большие и маленькие камни падают на землю одновременно вне зависимости от размера, а не как полагал Аристотель – сначала большой, потом маленький. Учитывая, что оба начали падение одновременно где-то высоко в небе, Галилей пришел к выводу, что Аристотель был неправ.

Галилео был не первым, кто поставил под сомнение теорию Аристотеля о падающих объектах[11], и даже не первым, кто проверил ее верность с помощью эксперимента[12]. Согласно записям Вивиани, когда Галилео был профессором в Пизе (1589–1592), он продемонстрировал ошибочность утверждения Аристотеля о падающих объектах из одинакового материала, но имеющих разный вес, с падающей Пизанской башни: