Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали

«Мы вынуждены предположить, что более вероятные распределения будут следовать за менее вероятными, то есть W [или энтропия] всегда возрастает до того момента, когда распределение становится постоянным, а W [или энтропия] достигла максимума [Курсив мой. – С. Б.]».

Он снова допустил эту ошибку в 1904 году в своей публикации «Об общей молекулярной теории теплоты». Эйнштейн изучал книгу Больцмана с 1901 года, но, по всей видимости, пропустил слегка спрятанное обсуждение замечания Лошмидта, которое сподвигло Больцмана на собственные размышления по данной теме. Наконец, в публикации 1910 года Эйнштейн правильно сформулировал второе начало. Короче говоря, все – и Больцман, и Эйнштейн, и Планк – ошибочно считали, что энтропия системы, переходящей из неравновесного состояния в равновесное, всегда возрастает, на каждом этапе перехода. Верно (в терминах теории вероятности), что для системы наиболее вероятно увеличивать энтропию на каждом этапе перехода, но не всегда. На самом деле основной мотивацией решения проблемы абсолютно черного тела было желание доказать, что энтропия всегда возрастает, и это сильно повлияло на способ решения вопроса.

С моделью резонаторов на руках Планк был подготовлен. Представим систему Планка в неравновесном состоянии при некоторой начальной температуре с резонаторами, поглощающими и испускающими тепловое излучение на их различных частотах. Через некоторое время температура изменится, а энтропия необратимо возрастет (см. часть 2). В конце концов система резонаторов придет в равновесие: температура станет постоянной, а энтропия достигнет своего максимального значения.

Планк хотел разработать теорию, описывающую изменяющееся состояние системы при ее эволюции от какого-то исходного неравновесного состояния к равновесному, и в процессе показать, что окончательный спектр теплового излучения резонаторов является не чем иным, как спектром излучения абсолютно черного тела. Более того, Планк хотел создать теорию без использования вероятностей и статистики, иначе она бы запятнала абсолютный характер его видения энтропии.

Планк начал свое исследование в 1894 году, совершив значительный прогресс, убедивший его в том, что можно достичь успеха с подходом, лишенным вероятностной, или статистической, интерпретации энтропии. Однако к 1898 году, после нескольких уступок критике со стороны Больцмана, Планк понял, что нужен новый подход.

Система резонаторов Планка, взаимодействующих с тепловым излучением внутри идеально отражающих стенок ящика, не была единственной системой, которая необратимо эволюционировала к равновесию из изначального неравновесного состояния[177]. Рассмотрим неравновесную систему атомов газа. Такую систему будут приводить к состоянию равновесия столкновения между ними. Эволюция будет необратимой, сопровождающейся ростом энтропии. Как только система придет в состояние равновесия, ее энтропия станет максимальной, а сама она достигнет (в случае идеального газа) распределения Максвелла по скоростям, которое будет впоследствии поддерживаться. Все это в 1872 году доказал Больцман в «Дальнейшем изучении теплового равновесия молекул газа». Он посоветовал Планку использовать подобный подход при решении его проблемы. После сильного сопротивления совету Больцмана к весне 1898 года Планк был готов согласиться.

Не то чтобы до этого у Планка не было прогресса. Наоборот, к тому времени его почти четырехлетняя работа дала уравнение, описывающее динамику одиночного излучателя, взаимодействующего с тепловым излучением. Следуя схеме, подобной той, которой придерживался Больцман в 1872 году, Планк смог расширить свое уравнение до «более фундаментального», связывающего среднюю энергию резонатора с общим выражением для спектра излучения абсолютно черного тела, соответствующего системе в равновесном состоянии; фактически у него было уравнение для вещества, находящегося в равновесии с излучением.

Однако если Больцман смог прийти к уравнению, управляющему динамикой системы атомов газа, эволюционирующей от неравновесного состояния к равновесному, Планку, несмотря на использование подхода, подобного примененному Больцманом, не удалось получить такое соотношение для эволюции теплового излучения резонаторов. Таким образом, Планку пришлось оставить надежду доказать абсолютный характер роста энтропии, хотя он сохранял веру в это в течение последующих пятнадцати лет. Однако самым большим разочарованием стало то, что никакие его усилия не привели к точной модели равновесного спектра абсолютно черного тела. В этой связи Планк снова обратился к своей старой знакомой – энтропии.

Используя свое фундаментальное уравнение и закон смещения Вина, Планк был способен подойти к выражению для энтропии резонатора. Из него он легко получил закон излучения Вина. Вин предложил свой закон излучения, основываясь на очень шатких доводах, вообще не делая строгих выводов. Получается, что Планк первым предоставил реальный вывод этого закона, ставшего известным как закон Вина – Планка.

В начале 1899 года, к моменту пятой публикации Планка, описывающей его усилия, закон Вина – Планка отлично соответствовал экспериментальным измерениям. Хотя он и не достиг своей конечной цели, Планк был убежден, что успешно вывел выражение универсальной функции для спектра абсолютно черного тела, которое Кирхгоф призвал найти около сорока лет назад. Однако его победа была недолгой.





Несоответствие и отчаяние




К весне 1900 года улучшенная экспериментальная методика привела к новым результатам, показывающим расхождения с законом Вина – Планка. Начинало походить на то, что почти шесть лет усилий Планка оказались напрасными. Планк решил, что ошибка лежала в его выводе выражения для энтропии резонатора. Переделав вывод, Планк предложил новое выражение для этой величины и, опираясь на него, смог получить новую формулу для спектра абсолютно черного тела. В этот раз он был прав, и новый результат полностью согласовывался со всеми новыми экспериментальными данными.

Планк мог на данном этапе почивать на лаврах, возможно получив за свои усилия Нобелевскую премию – либо единолично, либо разделив ее с Вином. Однако Планку нужно было понимание «абсолютной» природы своего нового выражения. В конце концов, к тому моменту Планк создал, основываясь на изрядном количестве «гениальных догадок», не более чем эффективное уравнение, касающееся взаимодействия вещества и света, без заметного физического понимания его истинной природы. Оставался следующий вопрос: «Что именно, связанное с веществом и энергией, приводит к планковской форме спектра абсолютно черного тела?»

Чтобы ответить на этот вопрос, Планк снова обращается к Больцману, на этот раз к его работе 1877 года. Планк, прежде стойкий противник статистической интерпретации энтропии Больцмана, казалось, немного передумал:

«Я догадывался, что эту величину [энтропию резонатора] будет возможно рассчитать, введя статистическое рассмотрение, важность которого для второго начала термодинамики впервые продемонстрировал Больцман».

Несмотря на уступки Больцману, Планк не перешел полностью на сторону статистического подхода; у него была своя собственная интерпретация природы вероятности физических явлений. Он также не следовал четко и во всем исходному подходу Больцмана, допуская немного вольности при необходимости. Позже (в 1931 году) Планк будет упоминать эту часть своей программы как «акт отчаяния», объясняя это тем, что он «должен был получить положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой».

Отправной точкой «акта отчаяния» Планка было уравнение Больцмана, введенное в части 2:



S = k lnW.

Вспомним, что это выражение описывает полную энтропию системы в определенном макросостоянии, или физическом состоянии, для соответствующих микросостояний, полная сумма которых равна W. На самом деле Больцман изначально написал это уравнение в виде пропорции:

S ∝ lnW,

а не в виде того равенства, которое мы сегодня знаем. Именно Планк позже ввел константу k, которую мы сейчас называем постоянной Больцмана, и указал на ее важность. Кроме того, Больцман предложил метод расчета полного числа микросостояний W, или сочетаний, как их называл Больцман.

Это был улучшенный вариант метода Больцмана, предложенного в 1868 году, и он должен был стать новым подходом, дополняющим его работу 1872 года. Больцман рассматривал систему из N атомов газа с постоянной полной энергией E. Микросостояние такой системы будет описывать каждый из N атомов газа как имеющий определенную часть полной энергии. Чтобы сделать такое описание возможным, Больцман представил полную энергию в виде:

E = Pε.

Таким образом, полная энергия системы появлялась «порциями», каждая величиной ε, а отдельный атом газа мог иметь энергию 0, ε, 2ε, 3ε, … Pε.

Представим систему, состоящую из двух атомов (N = 2), где энергия разделяется на три порции (P = 3), поэтому один атом может иметь возможные энергии 0, ε, 2ε, 3ε. Единственные возможные микросостояния – с учетом того требования, чтобы энергии всех атомов в сумме равнялись энергии системы (E = = 3ε) – это (0, 3ε), (3ε, 0), (2ε, ε), (ε, 2ε), где первая величина в скобках – это энергия «атома 1», а вторая – «атома 2». Каждое микросостояние обозначает атом (либо 1, либо 2) вместе с соответствующим значением его энергии. Другими словами, мы сделали и энергию, и атомы различимыми (нам нужно позже поговорить об этом подробнее). Для произвольного числа атомов газа и порций энергии (любые значения N и P) можно записать общее выражение для W[178], а значит, и для энтропии.

Для Больцмана этот подход был просто средством достижения цели. На завершающем шаге он позволил размерам системы подходить под очень большое число атомов. Далее он сделал эти порции энергии очень маленькими. Мы уже видели, что реальные системы, подобные шарику, заполненному атомами газа, содержат очень большое число атомов, вот почему Больцман рассматривал системы таких размеров; он хотел установить связь с реальными физическими системами. Что касается допущения крайне маленьких порций энергии – ну, оно тоже было мотивировано реальными физическими рассмотрениями.

Больцман рассматривал энергию системы, распределенную порциями, как своего рода прием, математический трюк, который сделал возможным написать выражение для энтропии. Он объяснял:

«Следует признать, прием [порции энергии] не соответствует любой [реализуемой] физической проблеме, а на самом деле является задачей, с которой можно намного легче справиться математически и которая переходит непосредственно в [физическую] проблему…»

Однако в представлении Больцмана, да и почти всех остальных ученых того времени, энергия так себя не вела. Наоборот, энергия считалась непрерывной, а не прерывистой, или состоящей из порций. Впрочем, у Планка был собственный подход к методу сочетаний Больцмана.

К ноябрю 1900 года, понимая, что его гениальная догадка нуждалась в более надежных основаниях, Планк снова обратился к статистической интерпретации энтропии Больцмана и к методу, который он использовал для ее вычисления. Чтобы установить аналогию с больцмановской системой из N атомов газа и постоянной полной энергией E, Планк рассматривает набор из N резонаторов, а не один резонатор, которые имеют одну и ту же частоту ν и их собственные постоянные полные энергии.

Планк получил выражение для энтропии одиночного резонатора с частотой ν, а не набора из N резонаторов. То есть Планк предложил просто разделить уравнение Больцмана (S = k ln W) на N, чтобы получить энтропию одиночного резонатора[179]. Теперь у Планка было два выражения для энтропии резонатора: то, которое он вывел сам, и новое выражение, полученное простым введением делителя в уравнение Больцмана. Далее, как и с энтропией системы, Планк также рассматривал полную энергию системы как сумму энергий всех резонаторов.

Окончательные шаги Планка просты: использовать метод Больцмана для получения W, которое дополнит измененное выражение для уравнения Больцмана, приравнять этот вариант выражения для энтропии к полученному самим Планком; и затем надеяться на некоторое физическое понимание. Планк продолжил выполнять «математический трюк» Больцмана, деля полную энергию системы на P порций, каждая из которых равна ε, распределенных между N резонаторами. Об этом он говорил:

«Если E [полная энергия системы из N резонаторов] считается бесконечно делимой, возможно бесконечное число различных распределений. Мы, однако, рассматриваем – и это важно – E как состоящую из определенного числа одинаковых конечных частей…»


Итак, с энергией в виде порций, как было нужно, Планк посчитал полное число микросостояний (W) для его системы из N резонаторов и соответствующую энтропию и завершил приравниванием выражения для энтропии, полученного методом Больцмана, своему собственному. Он обнаружил кое-что интересное. Короче говоря, чтобы два выражения энтропии были равны друг другу, он просто потребовал, чтобы те маленькие порции энергии равнялись:

ε = hν,

где он ввел другую (в дополнение к постоянной k) постоянную, которую мы сейчас называем постоянной Планка.

То есть, в отличие от Больцмана, рассматривавшего порции энергии как удобный прием и в конечном итоге устранившего их тем, что он сделал их бесконечно маленькими, теория Планка потребовала их существования. И каково было физическое понимание, которое Планк так отчаянно искал? Очевидно, что оно заключается в том, что энергия на самом деле состоит из отдельных порций! Другими словами, если говорить об одном из резонаторов Планка (который сейчас мы бы уподобили атому или молекуле), то разрешенные значения энергии являются дискретными (0, ε, 2ε, 3ε и т. д.), а не подчиняющимися какому-то непрерывному распределению. Более того, если энергия резонатора увеличивается или уменьшается при взаимодействии со светом, она должна изменяться на ε – ни на бо2льшую, ни на меньшую величину.

Тогда, в общем, получается, что энергия резонатора рассчитывается по формуле:



Eрезонатора = mhν,

где m = 0, 1, 2, 3, …

Планк представил свой вывод 14 декабря 1900 года. Из своих поисков спектра излучения абсолютно черного тела он вышел победителем. Также он достиг желанного физического понимания взаимодействия вещества со светом. Тем не менее, за это он заплатил большую цену.

Он был вынужден обратиться к больцмановскому методу получения полного числа микросостояний, чтобы получить выражение для энтропии. Тот метод вовсе не был популярным и многие его считали в лучшем случае вызывающим сомнения. Что хуже, в отличие от Больцмана, который в конце концов смог аккуратно устранить те раздражающие порции, Планк остался с ними навсегда, поскольку их устранение привело бы к полному и абсолютному провалу его теории.

Полное признание этого довольно хитрого характера энергии означало, что вся физика, которую Планк знал, навсегда радикально изменится. По вполне понятным причинам Планк не желал принимать роль революционера, и для продвижения концепции прерывной, или дискретной, природы энергии, которую мы сейчас называем квантами энергии (или квантом в случае одной порции), он сделал очень мало.

Он придерживался идеи, что кванты энергии были математическим артефактом, и надеялся, что будущие усовершенствования его теории приведут назад, к «старой доброй физике» (классической физике) с менее радикальными результатами. Он, как и почти все остальные, предпочел концентрировать внимание на замечательной точности закона излучения Планка, а не на раздражающих квантах энергии, существование которых он подразумевал. Прошло восемь лет с момента, когда Планк впервые представил свою квантовую теорию дискретной энергии, и до момента, когда он смог окончательно признать, что она излагала фундаментальную природу энергии:

«…имеется определенный порог: резонатор совсем не отвечает на очень слабые возбуждения; если он отвечает на более сильные, то только так, что энергия является целым кратным элемента энергии hν, так что мгновенное значение энергии всегда представляет собой такое целое кратное».

В то время как Планк и другие, возможно, колебались в признании квантов энергии, один человек принял их сразу.





Глава 14

Световые кванты

Частицы и волны: начало




В 1905 году, когда ему было двадцать шесть лет, Эйнштейн опубликовал четыре крупные статьи и закончил свою докторскую диссертацию. Каждая из этих статей была революционной и впоследствии изменила физику навсегда. Однако только первую из них, «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света», Эйнштейн называл «очень революционной» [180]– на самом деле это был единственный раз, когда он сказал такое о какой-либо своей работе – и она, в частности, принесет ему Нобелевскую премию в 1921 году[181].

Действительно, представление Эйнштейна о свете было очень революционным, и только почти через двадцать лет его аккуратно включили в физику. В отличие от Планка, Эйнштейну было удобно использовать статистические подходы (такие как кинетическая теория или статистическая механика) для решения физических проблем. На самом деле Эйнштейн потратил значительное время на эти методы.

В цикле из трех публикаций между 1902 и 1904 годами Эйнштейн независимо включил некоторые из идей статистической механики, которые уже были сформулированы раньше Больцманом и Гиббсом. Видимо, Эйнштейн был в некоторой степени знаком с работами Больцмана, но, несомненно, вообще не знал трудов Гиббса. Кажется, что Эйнштейн почерпнул знания о работах Больцмана из «Лекций по теории газов», двухтомного труда, изданного в 1896 и 1898 годах. Это факт вызывает сожаление, поскольку данная работа не должна была быть обзором предыдущей работы Больцмана. В частности, метод сочетаний Больцмана, разработанный в 1877 году, который Планк использовал при получении квантов энергии, упомянут лишь мимоходом, а читателя (наверняка запутавшегося) отсылают к исходному источнику, который, кажется, Эйнштейн не смог найти.

Более того, хотя Больцман был выдающимся лектором, его труды были часто излишне длинными и малопонятными, а основные выводы часто прятались в лесу вычислений. Максвелл говорил о рукописях Больцмана: «Изучая Больцмана, я не мог его понять. Он не мог понять меня из-за моей краткости, а его длинные рассуждения были и остаются таким же серьезным препятствием для меня».

Возможно это отсутствие близости пошло на пользу Эйнштейну, поскольку дало ему возможность разработать статистическую механику с нуля, поистине построив ее своими руками в первые годы его занятий физикой. Как потом стало ясно, подход Эйнштейна к изучению квантов, или квантовая теория, был по своей сути статистической механикой, и методы, разработанные им в годы становления, сослужили ему добрую службу в его стремлениях в течение более чем двадцати лет, особенно в усилиях по изучению природы света.





Энтропия и гипотеза




Как это было в работах Планка, в статье, написанной Эйнштейном в 1905 году, энтропия также играла важную роль. Эйнштейн был заинтересован в вычислении энтропии системы, состоящей из света, находящегося в ящике с объемом V0. Хотя может показаться странным рассматривать ящик, полный света, сама эта система не так сильно отличается от других, которые мы обсуждали, вроде ящика (или воздушного шарика) с атомами газа.

Начав с уравнения (изначально выведенного Вином) и используя закон излучения Вина (не Планка), Эйнштейн получил явное выражение для энтропии света в ящике, S0. Затем он перешел к рассмотрению энтропии, возникающей при заключении света в меньший объем V (под-объем) внутри ящика. Он нашел разность этих энтропий:

S – S0 = k ln (V / V0) E / hν,

где E – полная энергия света в ящике[182], а hν, как в уравнении Планка, – квант энергии.

Теперь, если мы определим W из уравнения Больцмана[183] выражением

W = (V / V0) E / hν,

в которое входят величины из уравнения Эйнштейна, тогда мы получим: