Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали

S = k ln W + S0.

Дополнительный член S0 возникает, потому что мы представляем систему находившейся в другом макросостоянии до того, которое рассматривается сейчас и имеет энтропию S. Это более общая форма уравнения Больцмана, которая впервые появилась в статье Планка.

Итак, Эйнштейн рассматривал то же самое изменение энтропии для системы, содержащей N атомов идеального газа[184]. Атомы идеального газа не взаимодействуют, а точнее, ведут себя независимо друг от друга. Более того, здесь мы говорим о классическом идеальном газе, тогда как позже мы обсудим его квантовый аналог. Опять же, Эйнштейн рассматривал систему, сначала находящуюся в ящике с объемом V0, которую внезапно ограничили до под-объема V.

S – S0 = k ln (V / V0)N,

где, в данном случае



W = (V / V0)N.

С физической точки зрения, когда энтропия меняется (из-за изменения объема), эти уравнения говорят нам, что две системы ведут себя одинаковым образом. Когда мы их сравниваем (или, что проще, их выражения для W), то видно единственное отличие – там, где в варианте идеального газа стоит N, в случае света стоит E / hν.

Другими словами, в одном случае имеется N атомов идеального газа, а в другом – полная энергия света E, разделенная на «порции», каждая по hν. Эйнштейн поставил перед собой задачу рассмотреть только излучение с низкой плотностью энергии (или низкой интенсивностью) согласно закону излучения Вина, совсем не используя вариант Планка[185]. Более того, реальный газ при низких плотностях хорошо описывается моделью идеального газа.

С этими соображениями и уравнениями Эйнштейн построил оригинальную аналогию между этими двумя системами. Но что это за порции, рассеянные по ящику, полному света? Эйнштейн говорит:

«Монохроматическое излучение низкой плотности энергии (в рамках диапазона применимости формулы излучения Вина) в термодинамическом смысле ведет себя так, как если бы оно состояло из независимых друг от друга квантов энергии, каждый со своей величиной [hν]».

Другими словами, согласно Эйнштейну, свет на данной частоте ν (с низкой плотностью энергии) ведет себя как состоящий из порций hν – свет состоит из световых квантов. То есть энергия светового кванта такова:

Eсветового кванта = hν.

Вспомним, что для Планка эти порции представляли собой части, или кванты энергии, которые были распределены между N резонаторами. Но системой Планка был свет, находящийся в равновесии с N резонаторами, где резонаторы выполняли роль материи, тогда как системой Эйнштейна был свет, находящийся в равновесии с самим собой. Для Планка эти порции не имели ничего общего со светом и были исключительно прерогативой резонаторов. Другими словами, если Планк требовал от резонаторов обмениваться порциями энергии, на свет, который вообще-то переносил эту энергию туда и обратно, это требование не налагалось – это немного загадочно. Тогда Эйнштейн продолжает:

«Если с учетом зависимости его энтропии от объема монохроматическое излучение (со значительно низкой плотностью) ведет себя как прерывистая среда, состоящая из квантов энергии со своей величиной [hν], тогда кажется разумным проверить, являются ли законы генерации и превращения света такими, что они соответствуют свету, состоящему из такого рода квантов энергии».

Эйнштейн говорит, что если сам свет ведет себя как набор световых квантов, то, возможно, он также ведет себя при взаимодействии с веществом. В этой связи он рассмотрел известные экспериментальные наблюдения и показал, как их можно интерпретировать с позиции его вновь созданной гипотезы световых квантов. Наиболее заметным из этих явлений, которые он рассматривал, был фотоэлектрический эффект.





Как все было – до квантов света




До того, как Эйнштейн в 1905 году вернулся к этой теме, природу света обсуждали много раз. Как и с материей, первые теории света пришли от древних греков. Демокрит, основоположник атомизма, считал, что свет состоит из частиц, мало чем отличающихся от атомов, из которых, как он представлял, состоит вся материя. Аристотель думал, что свет – это «возмущение» того, что он рассматривал как один из четырех элементов – воздуха. Декарт в его «Диоптрике», опубликованной в 1637 году, описал свет как «живое действие», которое проходит через воздух и другие прозрачные тела[186]. По большей части «возмущение» Аристотеля и «живое действие» Декарта были очень ранними описаниями света как своего рода волны, не то чтобы не похожей на волны в океане.

В 1666 году Ньютон купил свою первую призму[187], желая опровергнуть волновую теорию света Декарта. В 1672 году он дал краткий отчет о результатах исследования в форме письма Королевскому обществу, и, после небольшого ряда уговоров, его опубликовали в «Философских трудах Королевского общества». Работу Ньютона встретили с большим одобрением, хотя и не единодушным. Однако один критик высказался против Ньютона, начав вражду длиною в жизнь.

С объемной критикой на Ньютона обрушился Роберт Гук, считавшийся в Англии экспертом по теме света. Одним словом, говорили, что Гук провел все те же эксперименты, получил другие выводы, и что Ньютон был откровенно не прав. В 1704 году Ньютон наконец опубликовал полный отчет о своей теории света в «Оптике». Он уже подготовил труд, охватывающий бо2льшую часть его работы в 1672 году, но никогда его не публиковал. Крайне болезненно реагируя на критику, он ждал – более чем тридцать лет – до смерти своего давнего конкурента Гука. Ньютоновская теория света связала цвет света с той идеей, что свет состоит из частиц, которые Ньютон называл «корпускулами». При том, что его теория цветов уходила своими корнями в результаты экспериментов с призмами, свет как поток частиц был всего лишь теоретической концепцией. Тем не менее главным образом вследствие известности Ньютона, его корпускулярная теория господствовала в течение более чем века после публикации «Оптики».

Ньютон думал, что свойства света лучше всего объясняются рассмотрением света как потока частиц. Например, он считал, что его законы движения могут объяснить преломление – свойство света, приводящее к тому, что он изгибается при переходе из одного вещества в другое. К примеру, переходя из воздуха в воду, свет будет отклоняться на ее поверхности к перпендикуляру к этой поверхности. Именно из-за преломления света объект, подобный карандашу, частично погруженный в воду, выглядит согнутым, или «разломанным».

Согласно Ньютону, преломление происходит из-за того, что частицы света изменяют направление своего движения (которое вызывает изгиб) вследствие сил, действующих на них на границе раздела двух сред. Для Ньютона и его сторонников корпускулярная теория света также объясняла отражение. Если мы представим частицы подобными бильярдным шарикам, тогда отражение является ничем иным, как столкновением частиц света с поверхностью и их «отскакиванием» от нее, что очень похоже на столкновение бильярдного шара с бортом стола, за которым следует только отскакивание назад (или «отражение»). Вдобавок Ньютон чувствовал, что были некоторые свойства, которые волновая теория света просто не могла объяснить, например дифракцию.

Дифракция – это свойство волн, позволяющее им огибать предметы и проходить через отверстия. Вот почему в случае звуковых волн звук из одной комнаты часто может слышать кто-то другой, не находясь непосредственно на пути идущего звука; звуковая волна выходит из одной комнаты, распространяясь через дверной проем, в другую, где ее потом слышно[188].

Ясно, что свет так себя не ведет. Ведь вы не можете видеть что-то, находящееся за углом, не так ли? Степень дифракции зависит от отношения длины волны к размеру отверстия, через которое она проходит. Если длина волны много меньше отверстия, дифракция будет незаметной. Но степень дифракции будет значительной, если длина волны сравнима с размером отверстия, и даже еще более значительной, если отверстие меньше длины волны. Обычно она незаметна, потому что у света достаточно короткие волны – намного короче в сравнении с длинами звуковых волн. Тем не менее, свет будет дифрагировать, если отверстие достаточно маленькое. Франческо Гримальди (1618–1663) примерно в 1660 году открыл дифракцию света.

Несмотря на доводы Ньютона, Гук опубликовал волновую теорию света в 60-е годы XVII века. В 1678 году Христиан Гюйгенс развил волновую теорию (опубликовав ее в 90-е годы XVII века в «Трактате о свете»), способную объяснить отражение и преломление. Однако конец корпускулярной теории Ньютона ознаменовался в начале XIX века, когда Томас Юнг (1773–1829) провел первую явную демонстрацию волновой природы света, показывая, что он обладает свойством интерференции. При подходящих условиях, когда световые волны, идущие от двух отдельных источников, объединяются, покажутся области ярче (усиливающая интерференция) и темнее (ослабляющая интерференция), чем если бы присутствовал только один из источников. Другие волны, например на воде или звуковые, также демонстрируют этот эффект.

Представим, что мы уронили камень вертикально вниз в спокойное озеро. Он вызовет рябь, или волны, распространяющуюся из точки, где он приземлился (она служит источником). Теперь вообразим то же самое с двумя камнями – возможно, по одному в каждой из ваших рук, широко раскинутых, – и выпустим их одновременно. Ясно, что теперь волны будут исходить от двух источников. Поскольку они продолжают распространяться, появятся такие участки поверхности воды, где волны от одного источника будут накладываться на волны от другого. Более того, на одних участках наложения высота волны (которая связана с ее интенсивностью) может увеличиться, тогда как на других – уменьшиться. Это иллюстрирует усиливающую и ослабляющую интерференцию соответственно.

Интерференционная природа света, которую позже подтвердили эксперименты и вычисления Огюстена Жана Френеля (1788–1827) семь лет спустя, нанесли серьезный удар поклонникам корпускулярной теории. Окончательным ударом стало определение скорости света в разных средах. Согласно корпускулярной теории света, скорость должна увеличиваться, когда свет проходит из одной среды в другую, более плотную, как и в случае перехода из воздуха в воду. Однако волновая теория света предсказывала прямо противоположный эффект: свет должен двигаться медленнее в веществе с большей плотностью, и работа Жана Бернара Леона Фуко (1819–1868) и Армана Ипполита Луи Физо (1819–1896) в 1850 году это подтвердила. Дальнейшее развитие взглядов на природу света в XIX веке привело к тому, что волновую теорию приняли все.

В 1864 году Джеймс Клерк Максвелл опубликовал последнюю из цикла статей по электричеству и магнетизму. В ней он написал (теперь знаменитые) четыре уравнения, которые образуют основу всего классического учения об электричестве и магнетизме. Эта работа и его двухтомный «Трактат об электричестве и магнетизме», опубликованный в 1873 году, объединили электрические и магнитные силы и вывели понимание природы света на абсолютно новый уровень. В своей теории Максвелл описывал свет как электромагнитную волну и смог верно рассчитать ее скорость:

«Она [вычисленная скорость] настолько близка к скорости света, что кажется, будто мы имеем серьезное основание заключить, что сам свет (включая тепловое излучение и другие виды излучения, если таковые имеются) является электромагнитным возмущением в форме волн…»

Хотя скорость света уже измерили[189], концепция света как электромагнитной волны была совершенно новой. К сожалению, Максвелл прожил недостаточно долго (он умер в 1879 году), чтобы дождаться подтверждения данного аспекта своей теории.

В 1887 году Генрих Герц (1857–1894) подтвердил теорию Максвелла, фактически создав электромагнитные волны, предсказанные им. Также Герц и другие ученые продемонстрировали, что эти волны показывают ожидаемые свойства: отражение, преломление и дифракцию. Впоследствии эти результаты утвердили теорию Максвелла и волновую концепцию света в умах всех физиков. До того, как Эйнштейн в 1905 году решил встряхнуть самые ее основы.





Фотоэлектрический эффект





По иронии судьбы в том же самом наборе экспериментов, которые проводил Герц для исследования волновой природы света, описанной теорией Максвелла, он также случайно обнаружил фотоэлектрический эффект. Это явление было небольшим бременем для достопочтенной максвелловской теории света. Когда освещают определенные типы металлов, с поверхности испускаются, то есть выбиваются и становятся свободными, электроны (см. рис. 14.1). Это явление называется фотоэлектрическим эффектом, и с помощью теории Максвелла невозможно было объяснить несколько его особенностей:

• Чтобы электроны были выбиты и стали свободными, частота света, попадающего на поверхность (падающего света), должна быть больше определенного значения, которое является характеристикой металла, освещаемого им. Другими словами, имеется граничная частота, и частота падающего света должна быть выше нее, иначе фотоэлектрического эффекта не будет. Это не согласуется с волновой теорией света, которая предсказывает, что электроны будут вылетать при любой частоте падающего света, если его интенсивность достаточно велика.

• Как только частота света превышает граничное значение, электроны начинают вылетать с определенной скоростью, или кинетической энергией. В то время как число вылетающих электронов пропорционально интенсивности света, кинетическая энергия, или скорость, с которой они вылетают, нет. На самом деле их кинетическая энергия определяется частотой света, а не его интенсивностью.

• Электроны вылетают почти сразу после того, как их выбивает свет. То есть эффект почти мгновенный. Это происходит даже при низкой интенсивности света.





Рис. 14.1. Приходящие (падающие) фотоны энергии hν попадают на поверхность металла. Так они выбивают электроны, и те освобождаются от притяжения со стороны металла.

Эйнштейн ясно видел решение всех этих трудностей. Как мы обсуждали раньше, он предположил, что свет состоит из квантов. Другими словами, свет состоит из частиц с энергией hν у каждой, которые мы сегодня называем фотонами. Таким образом, когда свет облучает металл, фотон может столкнуться с электроном и передать ему свою энергию hν. Эта передача энергии почти мгновенна, поскольку энергия фотона не распределена по большому объему, а сконцентрирована, поэтому передача столь быстра. Итак, когда фотон ударит по электрону, последний улетит за пределы металла, только если энергия фотона «достаточна». Что мы понимаем под достаточностью?

Притяжение между электроном и атомом, с которым он связан, удерживает отдельный электрон в металле; положительно заряженное ядро атома удерживает отрицательно заряженный электрон и не дает ему просто так улететь от него[190]. Поэтому фотону нужно иметь достаточную энергию, чтобы освободить электрон от этой силы притяжения. Это минимально необходимое количество энергии – всего, что меньше, будет недостаточно для освобождения электрона. Это объясняет вышеупомянутую граничную частоту.

У фотона должна быть определенная частота ν, то есть определенное количество энергии hν (поскольку h – это постоянная), чтобы он мог освободить электрон из тисков атома. Минимальное количество энергии называется работой выхода W – работой, которую нужно произвести, чтобы электрон освободился, – и она является неотъемлемым свойством металла. Более того, она объясняет, почему фотоэлектрический эффект наблюдают только при свете с частотой выше определенной, а не при любой, если интенсивность достаточно велика, как это предсказывается в волновой теории.

Согласно фотонной концепции, чем больше интенсивность, тем больше фотонов с одинаковой энергией. Пусть даже у нас больше фотонов, если у них нет минимальной энергии (работы выхода W), требуемой для освобождения электрона от атома, то ничего не произойдет. А что если энергия больше, чем работа выхода? Что случится с оставшейся энергией? В конце концов, нам известно, что она не исчезает просто так, поскольку, как мы узнали из части 1, энергия сохраняется.

Оставшаяся энергия уходит на сообщение скорости электрону, с которой он улетает. Чем больше энергии остается, тем больше будет скорость электрона при его вылете из металла. На самом деле, чтобы электрон улетел, нужно немного больше энергии, чем просто работа выхода. Как упомянуто, бо2льшая интенсивность означает больше фотонов, и больше фотонов с «достаточной» энергией приведут к тому, что больше электронов вылетят из металла.

Другими словами, при достижении граничной частоты увеличение интенсивности непосредственно увеличит число электронов, покидающих металл. Однако она не повлияет на скорость, с которой они улетают; на нее влияет лишь частота фотона, ударяющего по электрону. Вспомним, что скорость является результатом «оставшейся энергии», о которой мы говорили выше. Сумма того количества энергии и работы выхода W равна количеству энергии, которую имеет фотон, hν, и которая зависит только от частоты ν фотона. Мы можем суммировать все эти результаты в простом уравнении, впервые написанном Эйнштейном:

hν = Kmax + W,

где Kmax – максимальная кинетическая энергия, которую может приобрести электрон. Ясно, что это просто уравнение для закона сохранения энергии, подобное тому, о котором мы говорили в части 1, с тем единственным отличием, что сейчас мы говорим о сохранении энергии микроскопических частиц – даже они сохраняют энергию.

Световые кванты Эйнштейна и уравнение сохранения энергии успешно объяснили фотоэлектрический эффект и другие явления которые волновая теория света и теория Максвелла объяснить не смогли. Вы, наверно, воображаете, что физическое сообщество встретило такой прорыв с распростертыми объятиями. К сожалению, нет.





Одинокий исследователь




Концепцию фотонов Эйнштейна встретили с огромным сопротивлением, и прошло почти двадцать лет с ее введения до того, как ее полностью приняли. Общий настрой этого сопротивления можно ощутить в следующей выдержке из письма с рекомендациями, написанного Планком, Эмилем Варбургом (1846–1931), Вальтером Нернстом (1864–1941) и Генрихом Рубенсом (1865–1922) в 1913 году, чтобы Эйнштейна приняли в Прусскую академию наук: «На самом деле не надо предъявлять ему больших претензий за то, что он иногда не достигал цели своих рассуждений, как, например, в гипотезе световых квантов…»

Аргументы оппозиции были ясны: Эйнштейн осмелился бросить вызов волновой теории света, которая зарекомендовала себя, успешно объясняя физические явления, особенно под управлением теории Максвелла. Поэтому вмешательство в нечто, давшее так много объяснений, оскорбило многих физиков.

Планк также столкнулся с неприятием его идеи о квантах энергии, но не с таким, которое терпел Эйнштейн за свои световые кванты, или концепцию фотонов. Вспомним, что, согласно предположению Планка, кванты добавлялись к энергии резонаторов при их взаимодействии со светом. Из этого можно сделать разумный вывод, что, когда свет и вещество взаимодействуют, в результате энергия вещества всегда оказывается квантованной. Планк так и не осмелился затронуть волновую природу света, или теорию Максвелла, с помощью попытки проквантовать энергию света, что так решительно сделал Эйнштейн. Планк не хотел иметь с этим дел – он всего лишь выступал за свою теорию – о чем совершенно четко заявил в своем письме Эйнштейну 1907 года:

«Я ищу значения кванта действия [светового кванта] не в вакууме, а скорее там, где происходит поглощение и излучение, и [я] предполагаю, что все, что происходит [со светом] в вакууме, описывается строго [теорией] у Максвелла».

И снова на встрече физиков в 1909 году:

«Я считаю, что сперва нужно попробовать переместить все сложности квантовой теории в область взаимодействия материи с излучением».

Мне всегда было интересно, что Планк был способен сделать различие между квантами энергии, добавляющимися к его резонаторам (при их взаимодействии со светом), и материей в целом, но не самим светом. То есть для Планка свет и вещество могли быть в равновесии, передавая энергию друг другу, но для вещества эта передача энергии (либо поглощение, либо излучение) к свету должна быть квантована, а для энергии света – нет, у Планка энергия самого света не была квантована. Кажется довольно однобоким, не так ли? Возможно, Планк не хотел низвергать основы сильнее, чем он уже успел.

Отказ Планка посягать на теорию Максвелла и волновую природу свету снизил возражения к его варианту квантовой теории. Более того, у Планка в распоряжении были превосходные экспериментальные данные, которые не только помогли ему в разработке своей теории, но также подтвердили без всякого сомнения его выражение для спектра излучения абсолютно черного тела. На самом деле было достаточно просто взять выражение Планка и сравнить его с экспериментальными данными, и, сделав это, бесспорно, любой увидел бы, что они отлично согласуются.

Так, хотя можно было сомневаться в том, как Планк получил этот результат – а многие физики сомневались – даже самым заядлым скептикам было трудно представить, что он хотя бы что-то сделал неправильно. У Эйнштейна ничего такого не было. Его главным выражением было уравнение сохранения энергии, которое мы обсуждали. Но, в отличие от Планка с его спектром абсолютно черного тела, Эйнштейн не располагал высококачественными экспериментальными данными для сравнения. Ему предстояло более десяти лет ждать подобных результатов.

В 1916 году, когда они появились благодаря работе Роберта Милликена (1868–1953), тот был не очень-то признателен теории Эйнштейна:

«Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта… в каждом случае как будто бы предсказывает наблюдаемые результаты. …И все-таки пока еще [корпускулярная] теория, с которой Эйнштейн получил свое уравнение, кажется полностью неприемлемой».

В следующей статье Милликен назвал гипотезу световых квантов Эйнштейна «смелой, если не сказать безрассудной, теорией электромагнитной световой [частицы]».

Таким образом, хотя его собственные эксперименты демонстрировали, что уравнения Эйнштейна для фотоэффекта (сохранения энергии) были верны, Милликен отказывался верить, что свет состоит из частиц, называемых фотонами. То есть, хоть Милликен и не отрицал, что его результаты подтвердили правильность уравнения Эйнштейна, он не желал верить, что лежащий в основе механизм, ответственный за уравнения, имеет что-то общее с фотонами Эйнштейна.

Но эти чувства во многом разделяли большинство физиков, и это ясно проиллюстрировал текст решения по Нобелевской премии, присужденной Эйнштейну в 1921 году: «За заслуги в теоретической физике и особенно за открытие закона фотоэлектрического эффекта».

Определенно, Эйнштейн получает признание за «закон фотоэлектрического эффекта», другими словами, за его фотоэлектрическое уравнение, а не за концепцию фотонов. Этот подход сохранится до 1923 года, когда новые экспериментальные результаты обратят практически всех в веру в существование фотонов – подробнее об этом ниже.