Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали

Благодаря своей диссертационной работе Бор был уже хорошо знаком с неудачами классической физики. Так он совсем не удивился, когда увидел, как она терпела поражение в области атомов: «Кажется, этого и стоило ожидать, поскольку, по-видимому, строго доказано, что [классическая физика] не может объяснить факты, появляющиеся в рамках проблем, касающихся отдельных атомов».

Каким образом Бор примирил на первый взгляд не вызывающий сомнения атом Резерфорда с неустойчивостью, предсказанной классической механикой? Введением новой гипотезы: «Механические основания [классической физики] не получат никаких шансов…»

Бор предположил, что энергия связи электрона – энергия, требуемая для того, чтобы вывести электрон из самого атома, его удерживающего – может принимать одно из значений дискретного набора, а не любое. Другими словами, так же как и в случае резонаторов Планка, энергии связи электронов принимают квантованные значения:

Eс = Cnhω,

где Eс – энергия связи, C – постоянная величина, ω – частота обращения электрона по орбите, которая просто равна скорости, деленной на полную длину орбиты (предполагалось, что орбита круговая, так что ее длина – просто длина окружности), а n = 1, 2, 3 и т. д. Поразительным в этой формуле является ее сходство с выражением Планка для энергии резонатора:

Eрезонатора = mhν.

Вспомним, что ν в последнем выражении – это частота колебаний резонатора (опять же, ω в формуле Бора является частотой обращения электрона), а m = 1, 2, 3 и т. д. То есть Бор проводит формальную аналогию с квантом энергии Планка и тем самым дает ей реальный физический смысл. В последующие годы Бор замечал: «В воздухе витала идея попробовать применить в этом случае предположения Планка».

Помимо квантования энергии связи, Бор также получил результаты, показывающие, что расстояние электрона от ядра, или размер его орбиты, также квантованы (как и его угловой, то есть орбитальный момент).

В физической картине, воплощенной в атоме Бора, электроны, окружающие ядро, находятся на дискретных орбитах с дискретными энергиями. Как и прежде, под «дискретным» мы понимаем квантованное, и для атома Бора это применимо как к орбитам, так и к энергиям, тогда как в случае резонаторов Планка квантованной была всего лишь энергия. Квантование непосредственно связано с квантовым числом n, и большее значение n соответствует орбите, расположенной дальше от ядра с большей по абсолютному значению энергией связи.

Хотя квантовое число Бора n соответствует m из выражения Планка, его роль более значительна. Квантовое число описывает реальное квантовое состояние электрона, и, согласно гипотезе Бора, орбита электрона устойчива только в этих квантовых состояниях, поэтому он не станет неизбежно снижаться, приближаясь по спирали к ядру. Заметим, что, в отличие от выражения Планка, где m может равняться нулю, в формуле Бора n не может быть нулевым, иначе это соответствовало бы квантовому состоянию, в котором электрон уже упал на ядро, и опять-таки мы бы пришли к гибели атома.

Ко времени выдвижения теории Бора прошло больше пятидесяти лет после того, как работы Кирхгофа и Бунзена показали, что атомы излучают уникальные «отпечатки пальцев», состоящие из дискретного набора спектральных линий с теми же частотами, на которых атомы будут поглощать. Если в экспериментальной стороне спектроскопии в течение тех лет отмечался значительный прогресс, с теорией дело обстояло иначе.

Открыв электрон, Томсон спровоцировал обсуждение их роли в спектре атома, но никакого продвижения в этой области не было. Стало казаться, что теорию никогда не обнаружат. В 1882 году физик Артур Шустер (1851–1934) очень хорошо выразил эти переживания, сказав:

«Перспективный объект спектроскопии – изучить колебания атомов и молекул, чтобы получить всю возможную информацию о природе сил, связывающих их воедино… Но нам не следует так скоро ожидать открытие какого-то грандиозного и очень общего закона: состав того, что мы называем молекулой, очень сложен, а трудность проблемы настолько велика, что если бы не первостепенная важность результатов, которые, как мы можем надеяться, будут окончательно получены, то всему в этой проблеме, за исключением ее наиболее оптимистичных сторон, возможно, было бы отказано во включении в исследование, которое даже после многих лет работы может оказаться безуспешным».

Бор подготовил для Резерфорда проект со своими исходными идеями, касающимися атомов (в нашем предыдущем обсуждении кратко изложены его наиболее значительные части), в июле 1912 года, но ни слова не сказал об атомных спектрах. На то, чтобы Бор стал серьезно рассматривать атомные спектры в рамках своей теории, уйдет еще год. Его интерес вызвала занимательная беседа с Гансом Мариусом Хансеном (1886–1956).

Хансен занимался спектроскопией в Геттингене. Он поинтересовался, не пытался ли Бор использовать для предсказания спектров его теорию. Бор заметил, что он не уделял ей особого внимания, поскольку успех этой теории казался маловероятным. Хансен настаивал, что Бору следует пересмотреть свою точку зрения, и указал ему на интригующую спектральную формулу, известную как формула Бальмера.





Перескакивающие электроны – спектры




В 1849 году Иоганн Бальмер (1825–1898) защитил докторскую диссертацию в Базельском университете, Швейцария. Он прожил в Базеле всю свою жизнь, работая учителем в женской школе и читая лекции в университете. Бальмер, любитель нумерологии, считал, что практически все (и число овец в стаде, и число ступенек на египетской пирамиде, и т. д.) в этой жизни имеет что-то вроде особенной связи с числами и формулами. Хоть Бальмер был по образованию математик, он не внес значительного вклада в свою область, но оказал содействие дальнейшему развитию физики своей спектральной формулой для атома водорода.

Его достижение было по-настоящему выдающимся. В то время Бальмер знал только о четырех частотах в спектре атома водорода, которые экспериментально определил Андерс Ангстрем (1814–1874). Используя только эти четыре значения, Бальмер в шестьдесят лет составил формулу, предсказавшую полный спектр частот атома водорода (а также верно предсказавшую нижнюю и верхнюю границы диапазона частот). Вскоре после этого Бальмер узнал, что эта формула не только объяснила те четыре изначальных значения, но и правильно предсказала двенадцать других частот.

В 1885 году он опубликовал свои труды в двух статьях, которые сделали его имя бессмертным. За годы было определено еще больше спектральных частот, но формула Бальмера остается неизменной. В 1890 году Йоханнес Ридберг (1854–1919) обнаружил, что формула Бальмера на самом деле является частным случаем более общей формулы (которую сейчас мы называем формулой Ридберга):





где ν – частота, c – скорость света, а R – постоянная Ридберга. Частоты Бальмера для атома водорода можно получить, если установить b = 2 и a = 3, 4, 5, 6 и т. д. Хотя эта формула правильно предсказала линии, наблюдаемые в спектре атома водорода, никто не знал, почему она работала – она просто работала. В течение еще тридцати лет атом держал это в тайне.

Следуя предложению Хансена, Бор взглянул на формулу Бальмера. Возможно, он увидел ее в общем варианте Ридберга (см. выше). Формула была хорошо известна, и, скорее всего, Бор увидел ее еще студентом, только чтобы потом забыть. Мы уже обсуждали то, как Бор предположил, что энергия связи электрона в атоме квантована подобно тому, как Планк проквантовал энергию резонаторов. Используя эту гипотезу с некоторой очень простой классической физикой, Бор смог получить общее выражение для разности энергий связи ΔE двух квантовых состояний с квантовыми числами n1 и n2:





Снова увидев формулу Бальмера, Бор, должно быть, немедленно понял, как вытащить физику, все эти годы глубоко скрывавшуюся в этой формуле. А затем Бор выдвинул следующую гипотезу: что разность энергий квантовых состояний электрона равна энергии светового кванта Эйнштейна, hν:





таким образом получив формулу Бальмера, где R = K / hc. На самом деле Бор смог посчитать постоянную Ридберга и обнаружить, что она отлично согласуется с экспериментальным значением. Более того, числа a и b из формулы Бальмера тождественны квантовым числам n1 и n2, нумерующим квантовые состояния, а не являются просто какими-то целыми числами без физического смысла. Таким образом, новый вариант теории Бора получил неоценимую поддержку. Давайте посмотрим поближе на физическое понимание, лежащее за выводом Бора.

К тому времени, когда Бор познакомился с теорией Бальмера, у него уже было то, что нужно, чтобы вывести выражения для энергии связи ΔE. Однако, вероятнее всего, именно взгляд на формулу Бальмера заставил Бора завершить это преобразование. Теперь оставался только один шаг, чтобы его закончить. Бору нужно было приравнять разность энергий связи к энергии одного фотона, рассчитываемой в соответствии с формулой Эйнштейна для световых квантов, приходя к выражению:

ΔE = hν,

известному как правило частот Бора.

Математика этого шага очевидна (просто приравнять ΔE к hν), но физическая интерпретация Бора поразительна. Согласно Бору, электрон может менять квантовое состояние «перескакиванием» из одного в другое. Если электрон переходит из квантового состояния с большей энергией в состояние с меньшей, он испустит один фотон, который появится в спектре частот атома. Другими словами, частотный спектр атома возникает вследствие «перескоков» всех возбужденных электронов из состояний с большими энергиями в состояния с меньшими, при которых они излучают фотоны. Поглощение одного фотона приводит к тому, что электрон переходит из состояния с меньшей энергией в состояние в большей. Нужно осознать, что для двух заданных квантовых состояний энергия, или частота фотона, излученного при «перескоке» электрона «вниз», равна энергии, или частоте, поглощенного фотона при «перескоке» электрона «вверх». Получается, что более чем через пятьдесят лет после Кирхгофа модель Бора окончательно объяснила выводы, которые он сделал из опытов с веществом: как и атом, оно будет излучать и поглощать на той же самой частоте.

Другим успехом теории Бора было правильное предсказание серии Пикеринга. В 1896 году Эдуард Чарльз Пикеринг (1846–1919) обнаружил в свете звезд серию спектральных линий, которую он приписал водороду. Проблема была в том, что формула Бальмера не предсказывала эти линии. Примерно в то же время, когда Бор составлял свою теорию, интерес к серии Пикеринга вновь появился в работе Альфреда Фаулера (1868–1940), обнаружившего спектральные линии в лабораторном эксперименте. Используя свою теорию, Бор смог правильно объяснить эту серию линий, приписав их к частотному спектру однократно ионизованного гелия.


В однократно ионизованном состоянии атом гелия очень «водородоподобный» в том смысле, что у него, как у водорода, имеется только один электрон. От атома водорода он отличается ядром, содержащим два протона (а в ядре атома водорода – только один) и два нейтрона (тогда как в атоме водорода их нет). Это был другой крупный успех теории Бора. Сначала Эйнштейн отвечал на нее слабой похвалой, но, когда он узнал, что она смогла правильно предсказать серию Пикеринга, он сменил тон: «Это громадное достижение. Тогда теория Бора, несомненно, верна».

Были и другие успехи. Используя свою теорию, Бор сделал правильный вывод, что рентгеновское излучение возникает при переходе внутреннего электрона на орбиталь, или квантовое состояние, с меньшей энергией, оставшейся вакантной из-за того, что находившейся там другой электрон был прежде выбит из атома. Более того, Бор предпринял первый шаг навстречу квантовой химии, выяснив, что химические свойства атомов обусловливаются их внешними, или валентными, электронами.

В 1913 году статью Бора об атоме водорода опубликовали, и за ней тут же последовали две другие. Отношение к его теории было неоднозначным. Возможно, один из самых беспокоящих вопросов к теории задал Резерфорд, удивлявшийся тому, каким образом электрон, находящийся в каком-то квантовом состоянии, «решает», в какое состояние перейти дальше. Проблема состояла в том, что, казалось, в теории отсутствовала типичная идея причины и следствия (причинности). В самом деле, эта проблема, присущая квантовой механике, возникла снова позже, когда Эйнштейн вернулся к взаимодействию света и вещества.





Атомы и свет




К 1911 году Эйнштейн уже выдвинул гипотезу, что свет состоит из частиц, которые он назвал световыми квантами (впоследствии названными фотонами). Более того, он показал, что свет обладает неотъемлемой особенностью демонстрировать свойства и частицы, и волны. Хотя в понимании таинственной природы света он зашел дальше, чем кто-либо, она продолжала его озадачивать: «Я больше не спрашиваю, существуют ли на самом деле эти [световые] кванты. Как и больше не пытаюсь построить их, поскольку сейчас знаю, что мой разум не способен продвигаться в этом направлении».

Однако Эйнштейн примирился со странным поведением света, сосредоточившись на общей теории относительности до ноября 1915 года, и снова вернулся к свету в июле 1916 года. Конечным результатом было более глубокое понимание взаимодействия света с веществом, которое привело к публикации трех статей: двух в 1916 году и третьей, наиболее выдающейся, – в 1917 году.

Как мы уже видели, Планк положил начало квантовой теории света и вещества. В его модели вещество приобрело намеренно неоднозначную форму[191] «резонаторов» – не более чем колеблющихся зарядов малой массы. Взаимодействие резонатора со светом было «по большей части» классическим, в том смысле, что это явное взаимодействие происходило между ним и классическим электрическим полем света. Квантовая порция в данной теории относилась к энергии резонаторов, и ее появление было довольно удивительным и не имело механического объяснения. Бор пустил квантовую теорию внутрь атома квантованием электронных орбит. Он также обеспечил квантовой теорией свет и вещество (в атомных масштабах), где скачок электрона между орбитами приводит либо к излучению, либо к поглощению света. Квантовая теория света и вещества Эйнштейна пошла дальше этих двух теорий, объединяя их лучшие аспекты.

Эйнштейна мотивировало несколько факторов. Несомненно, кванты и «корпускулярно-волновой дуализм» света продолжали сильно влиять на направление его мысли. Бор предоставил механизм взаимодействия света и вещества, работающий в атомных масштабах, который был намного более детализированным, чем в модели резонаторов и света Планка, и Эйнштейн хотел глубже исследовать его последствия. Наконец – и на это стоит обратить внимание – прошло 16 лет с тех пор, как Планк получил свой закон излучения, а полного квантовомеханического вывода у этого закона все еще не было. Эйнштейн говорил:

«Вывод [Планка] был беспрецедентной смелостью, но он получил блестящее подтверждение. …Однако оставалась неудовлетворенность тем, что анализ [в рамках классической механики], который привел к [закону излучения Планка], несовместим с квантовой теорией, и неудивительно, что сам Планк и все теоретики, постоянно работающие над этой темой, попытались модифицировать теорию так, чтобы она опиралась на непротиворечивые основания».

Действительно, несмотря на невероятный успех в борьбе с постоянно растущими экспериментальными данными, теория Планка оставалась опороченной ее «преимущественно классическими» выводами. На самом деле, честно говоря, строго полученные элементы теории все были классическими по природе; квантовая составляющая (основанная на энергии осцилляторов) вовсе не вытекала из чего-то другого, а целиком была догадкой.

В 1905 году Эйнштейн пришел к идее световых квантов, сравнивая идеальный газ со светом. Тогда он рассматривал их как отдельные системы, находящиеся в тепловом равновесии, каждая в своем ящике. В 1917 году он вернулся к ним, но как к «смеси», находящейся в тепловом равновесии в общем ящике. В этот раз он выяснял, какое распределение света по частотам (частотный спектр, или закон излучения) требовалось, чтобы поддерживать эту систему из вещества и света в тепловом равновесии.

Атом Бора породил представление об атомных уровнях энергии, между которыми могут перескакивать электроны, поглощая или излучая фотоны. То есть, если представить простейший атом – атом водорода с его единственным электроном – то квантовое состояние всего атома описывается уровнем энергии, занятым одним электроном.

Эйнштейн рассмотрел набор подобных атомов, у каждого из которых было только два энергетических уровня. К тому моменту Эйнштейн был мастером в использовании статистической механики для решения физических проблем, и этот случай не был исключением. Он утверждал, что вероятность нахождения атомов в системе в одном из этих двух состояний описывалась распределением Больцмана. Более того, Эйнштейн предположил, что переходами между двумя уровнями энергии управляли всего три динамических процесса, каждый из которых происходил с определенной вероятностью. Эти три процесса он назвал спонтанным излучением, вынужденным излучением и поглощением.

Спонтанное излучение возникает, когда электрон перескакивает с верхнего на нижний уровень энергии атома, излучая при этом фотон. Вообще-то электрон делает это не под вилянием света, а сам. Как и другие спонтанные процессы (вспомним из части 2), спонтанное излучение – необратимый процесс, происходящий самопроизвольно (без совершения малейшей работы над системой) и приводящий к увеличению энтропии. А вынужденное излучение является результатом взаимодействия со светом. А именно, фотон «ударяет» по электрону, находящемуся у него на пути, приводя к тому, что он перескакивает на нижний уровень, опять-таки излучая фотон (добавляющийся к тому, который проходил вначале). Наконец, поглощение электроном фотона и перескок на верхний уровень энергии – это третий процесс.

Используя эти три процесса как лежащие в основе взаимодействия света с веществом в тепловом равновесии, Эйнштейн получил желаемое распределение по частотам и обнаружил, что оно является не чем иным, как формулой Планка, описывающей спектр излучения света, находящегося в равновесии с веществом. Из этих трех процессов до работы Эйнштейна 1916 года не было описано вынужденное излучение; остальные два уже были в модели Бора.

Оказывается, вынужденное излучение крайне важно для правильного вида закона излучения; без него получится закон излучения Вина. Тогда становится ясно, что вынужденное излучение важно для получения низкочастотной части закона излучения. Другим сокровищем теории Эйнштейна было правило частот Бора как естественное следствие теории. Однако Эйнштейн еще не закончил.

Как обсуждалось ранее (см. часть 2), система атомов идеального газа, находящаяся в тепловом равновесии, будет подчиняться распределению Максвелла по скоростям. В 1917 году Эйнштейн заявил, что то же самое было верно для теплового равновесия его смеси из атомов и света, и принялся за поиски распределения по частотам, которое делало такую ситуацию возможной. Он использовал тот же самый подход, что и в 1909 году при изучении флуктуаций импульса света.

Вспомним, что он рассматривал «маленькое» зеркало, двигавшееся только в одном направлении, и свет, находившийся в тепловом равновесии. В его исследовании 1917 года атом из смеси играл роль маленького зеркала, и в результате получилось то же самое уравнение для флуктуаций. Отталкиваясь от этого, Эйнштейн смог показать, что закон излучения Планка является правильной формой распределения по частотам, нужной для поддержания распределения Максвелла для смеси, находящейся в тепловом равновесии. Этот результат особенно интересен тем, что Эйнштейн пришел к нему, рассматривая только взаимодействия между атомами и светом.

Другими словами, в его вычислениях столкновения между атомами сами не играли никакой роли. То есть если набор атомов идеального газа, находящегося в тепловом равновесии, достигает распределения Максвелла для скоростей сам по себе, то атомы газа из смеси Эйнштейна, находящейся в тепловом равновесии, делают это благодаря взаимодействию со светом (посредством трех процессов Эйнштейна).

Однако одно из важнейших следствий теории Эйнштейна фокусировалось на импульсе фотона. В работе Эйнштейна 1905 года, посвященной световым квантам, основное внимание уделялось энергии фотона, тогда как его импульс не имел никакого значения. В 1909 году ситуация изменилась, и Эйнштейн показал, что флуктуации импульса, связанные со светом, содержали как корпускулярную, так и волновую составляющие. Это был потрясающий результат, позволивший Эйнштейну записать выражения и для энергии, и для импульса фотона. Но в тот раз он не сделал этого, а почему, мы никогда не узнаем.

Только в работах 1916–1917 годов он завершил картину фотона, наделив его и энергией, и импульсом. Импульс играл основную роль в вышеупомянутом результате, привлекающем распределение Максвелла. Эйнштейн отмечал: «Мне кажется, все же, что самый важный результат связан с импульсом, переданным молекуле в процессе спонтанного или вынужденного излучения».

Согласно Эйнштейну, независимо от того, поглощает ли атом фотон или излучает, переданный импульс равен hν / c, то есть энергии фотона, разделенной на скорость света[192]. При поглощении можно представить приближающийся фотон, перемещающийся в определенном направлении и «ударяющий» по атому. Именно в этом направлении импульс и передается атому.

В случае вынужденного излучения приближающийся фотон опять же «ударяет» атом, но теперь в результате атом сам излучает фотон. Как и в случае поглощения, направление переданного импульса определяется направлением движения приближающегося фотона, но в этом случае оно противоположно ему. Но при спонтанном излучении нет никакого приближающегося фотона – атом просто произвольно излучает фотон.

Так в каком же направлении передается импульс? Согласно Эйнштейну, направление определено только «случайностью». Знать его точно, как в случае двух других процессов, просто невозможно. Действительно, Эйнштейн натолкнулся на неопределенность, которая внутренне присуща тому, что впоследствии станут называть квантовой механикой. Эта работа послужила поворотным пунктом в двух отношениях. Во-первых, она раз и навсегда установила физическую реальность световых квантов. В письме к другу вскоре после публикации этой работы Эйнштейн отмечал: «Я больше не сомневаюсь в реальности излучения [световых] квантов, хотя никто не разделяет мои убеждения».

В этих убеждениях Эйнштейн был одинок до 1923 года, когда экспериментальная работа Артура Комптона (1892–1962) «очень убедительно» показала, «что квант [светового] излучения несет с собой и импульс определенного направления, и энергию».

Наконец, работа Эйнштейна 1917 года станет началом его отступления от того, что позднее станет (после введения квантов энергии) квантовой механикой. Эйнштейн высказал мнение, что случайная, или вероятностная, природа спонтанного излучения была недостатком теории, хотя он сохранял доверие к подходу, которым пользовался. Снова написав своему другу, Эйнштейн отмечал: «Я чувствую, что эту настоящую шутку, которую рассказал нам вечный творец загадок, все еще никто не понял».

Если в 1917 году Эйнштейн расценивал вероятностную природу как дефект своей теории, то позднее он был еще менее снисходительным. Он внес последний вклад в квантовую теорию (рассматриваемый многими как вообще его последний значительный вклад в науку) в 1925 году и впоследствии отвернулся от нее навсегда, аргументируя это тем, что ее вероятностная природа была ее существенным недостатком.





Глава 16

Квантовая механика

Лотерея природы